Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Grundformen
4. Kurven
5. Freiformgeometrie
6. Profile
7. Codequalität
8. Datenaustausch
9. Robustheit
10. Simulation
11. Optimierung

Kurven

• Koordinatensysteme und Transformationen: die Mathematik hinter letzter Woche
• Reihenfolge von Drehen und Verschieben – im Code Ihre Entscheidung
• Was ist eine Kurve? Parametrische Darstellung
• Tangente, Bogenlänge, Krümmung
• Analytische Kurven und ihre Grenzen

Durchgängiges Beispiel: der alternierende Zell-Flip im Stapel; Kurven am eigenen Teil auslesen

Rückblick: Stand des Projekts

Letzte Woche gebaut: Zellstapel (Muster-Schleife), Endplatten (Mirror), alles über einen ModulParam-Satz.

Dabei im Einsatz:

• Location und moved(...) – Objekte im Raum platzieren
• Plane(origin=...) – Konstruktionsebene aus einer Fläche
• moved(rz=90) – Drehung, deren Reihenfolge Sie am Ende vorhergesagt haben

Heute: die Mathematik dahinter – und was eine „Kante“ geometrisch ist.

Theorie A: Koordinatensysteme und Transformationen

Verschieben und Drehen im Code

Im Code ist jede Transformation ein expliziter Schritt – und ihre Reihenfolge ist Ihre Entscheidung, die das Ergebnis verändert.

Das räumliche Handwerkszeug in cadquery:

Location: das Koordinatensystem eines Objekts

Jedes Objekt trägt eine Location – seine Lage relativ zur Welt. Sie kodiert zweierlei:

• Translation: Verschiebung $(dx,\, dy,\, dz)$
• Rotation: Orientierung (intern als Matrix)

from cadquery import func as cf
from cadquery import Location

teil = cf.box(60, 10, 6).moved(x=40)        # nur Verschiebung
teil = cf.box(60, 10, 6).moved(x=40, rz=30) # Verschiebung + Drehung

moved(...) nimmt Verschiebung (x, y, z) und Drehung (rx, ry, rz, in Grad) gemeinsam entgegen und liefert ein neues Objekt – das Original bleibt.

Drehung: Achse plus Winkel

Eine Drehung im Raum ist vollständig durch Achse + Winkel beschrieben:

$$\text{Drehung} = (\hat{\mathbf{e}},\ \varphi)$$

Intern wird daraus eine Rotationsmatrix $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{3\times3}$, die auf jeden Punkt wirkt: $\mathbf{p}' = \mathbf{R}\,\mathbf{p}$.

• rz=90 dreht um die Z-Achse (Rechte-Hand-Regel)
• Gedreht wird immer um den Ursprung – nicht um den Bauteilmittelpunkt, außer der liegt zufällig dort

Das ist der Grund, warum die Reihenfolge zählt.

Reihenfolge: $\mathbf{T}\mathbf{R} \neq \mathbf{R}\mathbf{T}$

Translationen kommutieren – Reihenfolge egal:

$$\mathbf{T}_1\mathbf{T}_2 = \mathbf{T}_2\mathbf{T}_1$$

Drehung und Verschiebung kommutieren nicht:

$$\mathbf{T}\mathbf{R} \neq \mathbf{R}\mathbf{T}$$

a = cf.box(60, 10, 6).moved(rz=90).moved(x=40)  # erst drehen, dann schieben
b = cf.box(60, 10, 6).moved(x=40).moved(rz=90)  # erst schieben, dann drehen

a sitzt bei x=40 und zeigt gedreht; b wird als Ganzes um den Ursprung geschwenkt und landet bei y=40.

Ausnahme: Verschiebt man entlang der Drehachse, kommutiert es doch.

Die Ebene als lokales Koordinatensystem

Letzte Woche haben Sie Plane(origin=top.Center()) benutzt, um den Stapel auf die Grundplatte zu setzen. Der Mechanismus dahinter:

Eine Plane ist ein lokales Koordinatensystem (Ursprung + Ausrichtung). Location(plane) * Location((dx, dy, 0)) heißt: „gehe ins Koordinatensystem der Fläche, dann dort lokal weiter“.

Aus der Fläche abgeleitet bleibt die Platzierung korrekt, auch wenn sich Maße ändern. Dieselbe Robustheit wie bei der Stapel-Platzierung.

Praktikum A: Zellstapel mit alternierendem Flip

Aufgabe 1: Zelle mit Terminal-Tab

Ergänzen Sie Ihre Zelle aus Einheit 3 um einen Terminal-Tab – aus der Mitte versetzt, damit der Flip sichtbar wird:

• Tab: Quader 24 × 12 × 6 mm
• an der langen Seite, 40 mm aus der Mitte versetzt

Hinweise: cf.box, .moved(Location(...)), +

Aufgabe 2: Alternierend flippen und stapeln

Stapeln Sie 12 Zellen im Abstand 12,5 mm. Für die Reihenschaltung wird jede zweite Zelle um 180° um Z gedreht.

1. Vorher raten: Ändert die Reihenfolge etwas – erst drehen, dann heben, oder umgekehrt? Prüfen Sie beide.
2. Warum kommt es hier auf dasselbe heraus?
3. stapel.isValid(); kontrollieren Sie, dass die Tab-Seite von Zelle zu Zelle wechselt.

Hinweise: .moved(rz=...), .moved(Location((0, 0, ...))), i % 2

Aufgabe 3 (Zusatz): wenn die Reihenfolge doch zählt

Legen Sie eine Zelle quer ab: Drehung um Z (90°), Verschiebung um 120 mm in X – also senkrecht zur Drehachse. Bauen Sie beide Reihenfolgen.

Wo landet welche? Erklären Sie den Unterschied über $\mathbf{T}\mathbf{R} \neq \mathbf{R}\mathbf{T}$.

Theorie B: Was ist eine Kurve?

Geometrie im B-Rep: was eine Kante trägt

In Einheit 2 gab geomType() Namen wie LINE, CIRCLE zurück. Diese Namen benennen die Geometrie, die ein Element trägt:

Die Topologie war das Gerüst – jetzt die Form, die es füllt: was ist eine Kurve?

Drei Arten, eine Kurve aufzuschreiben

Am Beispiel Kreis mit Radius $R$:

CAD-Kerne speichern ausschließlich die parametrische Form – nur sie beantwortet „welcher Punkt liegt bei $u$?“ und „wohin zeigt die Kurve hier?“ ohne Zusatzmaschinerie.

Tangente und Bogenlänge

Eine Kurve als Funktion eines Parameters:

$$\mathbf{C}(u) = \begin{pmatrix} x(u) \\ y(u) \\ z(u) \end{pmatrix}, \qquad u \in [u_{\min}, u_{\max}]$$

Tangentenvektor = Ableitung, zeigt in die Bewegungsrichtung:

$$\mathbf{T}(u) = \mathbf{C}'(u) = \frac{d\mathbf{C}}{du}$$

Bogenlänge = tatsächlich zurückgelegter Weg:

$$s(u) = \int_{u_0}^{u} |\mathbf{C}'(\tilde u)|\, d\tilde u$$

Die Länge von $\mathbf{T}$ ist eine „Geschwindigkeit“ im Parameterraum – sie hängt von der Parametrisierung ab, nicht von der Form.

Krümmung

Die Krümmung $\kappa$ misst, wie stark sich die Tangentenrichtung pro Weglänge dreht:

$$\kappa(u) = \frac{|\mathbf{C}'(u) \times \mathbf{C}''(u)|}{|\mathbf{C}'(u)|^3}$$

• Gerade: $\kappa = 0$ $\quad|\quad$ Kreis mit Radius $R$: $\kappa = 1/R$ überall
• $R_\kappa = 1/\kappa$: Krümmungsradius – Radius des anschmiegenden Kreises

Parameter und Bogenlänge

Der Parameter läuft gleichmäßig – die Punkte im Raum liegen es nicht:

u:   0.0       0.25      0.5       0.75      1.0
     ●─────────●─────────●─────────●─────────●

ell = cf.ellipse(30.0, 15.0)
print(ell.curvatureAt(0.0), ell.curvatureAt(0.25))
# 0.133 (spitzes Ende) ... 0.0167 (flaches Ende)

• positionAt(t) – Standard mode="length": $t$ = Bruchteil der Bogenlänge
• positionAt(t, mode="parameter"): $t$ = roher Kurvenparameter $u$

Bei der Ellipse variiert die Krümmung 8-fach – gleiche Parameterschritte, sehr ungleiche Wege.

Analytische Kurven – und ihre Grenzen

Exakt durch eine Formel beschreibbar: Linie, Kreis, Ellipse (die Kegelschnitte). Für Standardkörper reicht das vollständig.

Aber schon eine einfache Operation sprengt die Familie – der Versatz (Offset), jeder Punkt um $d$ entlang der Normalen:

kreis  = cf.circle(10.0)
print([e.geomType() for e in cf.offset2D(cf.wire(kreis), 3.0).Edges()])
# ['CIRCLE']  – größerer Kreis, R = 13

ell = cf.ellipse(20.0, 10.0)
print([e.geomType() for e in cf.offset2D(cf.wire(ell), 3.0).Edges()])
# ['OFFSET', 'OFFSET', 'OFFSET', 'OFFSET']  – keine Ellipse mehr!

Warum es Freiformkurven braucht

Konstante Krümmung (Kreis) → Versatz bleibt Kreis. Variable Krümmung (Ellipse) → etwas Neues, das keine analytische Formel mehr trägt.

CAD-Systeme brauchen eine Darstellung für beliebige glatte Kurven: Bézier, B-Spline, NURBS.

Praktikum B: Kurven am eigenen Teil auslesen

Aufgabe 4: Geometrietypen und Radien

Nehmen Sie ein Teil Ihres Moduls (die Grundplatte mit Bohrungen) und gehen Sie ihre Kanten durch.

1. Welche geomType-Werte kommen vor? Wie viele Kreiskanten?
2. Selektieren Sie die Kreiskanten und lesen Sie ihre radius()-Werte aus. Passen sie zu Ihren Konstruktionsmaßen (Bohrungen, Verrundung)?

Hinweise: e.geomType() == "CIRCLE", e.radius()

Aufgabe 5: Punkte und Tangenten

Wählen Sie die längste Kreiskante und werten Sie Punkt und Tangente bei $t = 0;\ 0{,}25;\ 0{,}5;\ 0{,}75$ aus.

1. Auf welcher Höhe liegen die Punkte – oben oder unten?
2. Sind aufeinanderfolgende Punkte gleich weit entfernt? Was sagt das über den Parameter?

Hinweise: max(..., key=...), .positionAt(t), .tangentAt(t)

Aufgabe 6: Versatz – Kreis vs. Ellipse

kreis = cf.circle(20.0)
ell   = cf.ellipse(30.0, 15.0)

1. Versetzen Sie beide um 5 (cf.offset2D(cf.wire(...), 5.0)) und vergleichen Sie die geomType-Werte der Ergebniskanten.
2. Berechnen Sie den Radius der Kreis-Versatzkurve aus ihrer Länge ($r = l / 2\pi$). Stimmt $R + d$?
3. Diskussion: Warum ist die Versatz-Ellipse keine Ellipse mehr?

Abschluss

Leseauftrag & Ausblick

• Leseauftrag: Buch Kapitel 6
• Wer mehr will: Krümmung entlang der Ellipse abtasten und die Stelle größter/kleinster Krümmung finden
• Nächste Woche: Freiformgeometrie – Freiformkurven (Bézier, B-Spline, NURBS) und das Kühlkanal-Profil
• Bis dahin: w04/ committet und gepusht